مقاله تئوري پايه ارتعاشات فصل سوم

مقاله تئوري پايه ارتعاشات فصل سوم با فرمت ورد در 40 صفحه تهیه شده است.

تئوري پايه ارتعاشات

3-1-مدلسازي يک مساله رياضي به کمک مدل هاي رياضي
مسايل مربوط به ارتعاشات مي توانند ساده و يا پيچيده باشند. تئوري ارتعاشات به ندرت براي سازه هاي واقعي به استثناي سازه هايي که ديناميک آنها بطور دقيق توسط چند معادله ديفرانسيل پاره اي تعيين مي شود، بکار گرفته مي شود. علت اين امر آن است که اين تئوري، اغلب با در نظر گرفتن حالت ايده آل از مساله واقعي و اعمال فرضيات مختلف گسترش داده مي شود. صحت تمام اين فرضيات در عمل روشن نمي باشد. فرآيند ايده آل سازي يک سازه واقعي پيش از انجام آناليز، مدلسازي رياضي آن سازه ناميده مي شود.
مدل حاصل از ايده آل سازي يک سازه واقعي يکتا نمي باشد. نياز به استخراج مدلي ساده، کارا و آسان براي آناليز تئوريک، مقوله اي است که از يکسو تجربه و از سوي ديگر درک عميقي از ديناميک را طلب مي کند. در آناليز مودال، مدل رياضي مورد استفاده اغلب بصورت گسسته با تعداد محدودي درجات آزادي مي باشد. رفتارهاي پيوسته سيستم، مانند شکل مودها، بوسيله مقادير گسسته سازي در فواصل مناسب نمايش داده مي شوند. بنابراين، اين مدل اغلب بوسيله تعدادي معادله ديفرانسيل معمولي ارائه مي شود. به کمک تبديل هاي لاپلاس يا فوريه، اين معادلات ديفرانسيل به معادلاتي جبري تبديل مي شوند. اين موضوع، اهميت جبر خطي را در آناليز مودال نشان مي دهد. متناهي بودن ساختار مدل رياضي، وابستگي آناليز مودال به تئوري سيستم هاي چند درجه آزادي را نيز نشان مي دهد.

3-2-مفاهيم اساسي ارتعاشات
ارتعاش، يک حرکت خودتکرار شونده مي باشد. اين تکرار مي تواند متناهي و يا نامتناهي باشد. همچنين هر تکرار لزوماً مشابه تکرار قبل نمي باشد. فرآيند تکرار در برخي ارتعاشات مي تواند جنبه آماري نيز داشته باشد.
بر خلاف تصور عمومي، ارکان اصلي ارتعاشات حضور مؤلفه هاي اينرسي و الاستيک نظير جرم و فنر نمي باشد. از آنجا که ارتعاش را مي توان بعنوان تبديلي ميان انرژي جنبشي و انرژي پتانسيل در نظر گرفت، يک سيستم ارتعاشي بايد داراي ابزار لازم براي ذخيره (و آزاد کردن) هر دو نوع انرژي باشد. ذخيره و رها سازي انرژي جنبشي معمولاً به کمک جرم و انرژي پتانسيل به کمک فنر انجام مي شود. جرم متصل به يک فنر افقي که در شکل (3-1) نشان داده شده است، مثالي از يک سيستم ارتعاشي مي باشد. جرم، عضو مربوط به انرژي جنبشي و فنر عضو مربوط به انرژي پتانسيل مي باشد. يک آونگ نيز مثالي شاخص از يک سيستم ارتعاشي است. اين سيستم بخش فنري شکلي براي انرژي پتانسيل ندارد. در واقع، جرم هر دو نقش مربوط به انرژي جنبشي و پتانسيل را ايفا مي کند. اين مثال، تصور وجود جرم و فنر در تمام سيستم هاي ارتعاشي را نفي مي کند.

شکل (3-1): دو سيستم ساده ارتعاشي

براي آنکه بتوان ارتعاشات يک سيستم ديناميکي را مطالعه نمود، تعداد درجات آزادي سيستم قبل از انجام آناليز بايد مشخص باشد. تعداد درجات آزادي يک سيستم ارتعاشي برابر با حداقل تعداد مختصات لازم براي مشخص نمودن کامل حرکت تمام اجزاي سيستم در هر لحظه زماني، مي باشد.
بعنوان مثال سيستم جرم-فنر شکل (3-2) داراي دو جرم است، که هريک مي توانند بطور مستقل حرکت کنند. با يک آزمايش ساده يعني ثابت نگاه داشتن يک جرم، به وضوح ديده مي شود که جرم ديگر از نظر فيزيکي هنوز مي تواند حرکت کند. بنابراين، اين سيستم داراي دو درجه آزادي مي باشد. درجات آزادي سيستم را مي توان بر حسب مختصات متفاوتي نشان داد. در سيستم جرم-فنر، دو مختصات مورد استفاده براي آناليز مي توانند و و يا و و يا حتي مختصاتي ديگر باشند. انتخاب مختصات متفاوت به معادلات ديفرانسيل مختلف منجر خواهدشد. با اين حال، چون در تمام اين حالات با يک سيستم سروکار داريم، بايد انتظار داشت فرکانس هاي طبيعي بدست آمده از اين معادلات يکسان باشند.

شکل (3-2): سيستم هاي ارتعاشي دو درجه آزادي

روش هاي مختلفي براي دسته بندي ارتعاشات وجود دارد. اين تقسيمات ممکن است وجوه مشترکي با يکديگر نيز داشته باشند. جدول (3-1) انواع ارتعاشات و تعريف هريک را بطور خلاصه نشان مي دهد.

جدول (3-1): انواع مختلف ارتعاشات
تعريف
نوع ارتعاش
معيار مبنا
ارتعاش تنها تحت تاثير شرايط اوليه
ارتعاش در اثر اعمال نيروي خارجي
ارتعاش آزاد
ارتعاش اجباري
تحريک خارجي
ارتعاش بدون کاهش انرژي سيستم
ارتعاش به همراه کاهش انرژي سيستم
ارتعاش ناميرا
ارتعاش ميرا
وجود ميرايي
ارتعاشي که قاعده برهم نهي در آن برقرار است
ارتعاشي که قاعده برهم نهي در آن برقرار نيست
ارتعاش خطي
ارتعاش غيرخطي
خطي بودن ارتعاش
دامنه ارتعاشات در هر زمان مشخص است
دامنه ارتعاش در هر زمان مشخص نيست اما مشخصات آماري رفتار آن معلوم است
ارتعاش معين
ارتعاش تصادفي
قابل پيش بيني بودن

شکل (3-3): يک سيستم ساده جرم و فنر

3-3-ارتعاش آزاد يک سيستم يک درجه آزادي
بررسي ارتعاش آزاد يک سيستم يک درجه آزادي را با معادله حرکت آن شروع مي کنيم. سيستم ساده جرم-فنر شکل (3-3) را بعنوان يک مثال در نظر مي گيريم. با در نظر گرفتن جابجايي ، معادله حرکت با استفاده از قانون دوم نيوتن چنين بدست مي آيد:

(3-1)

علامت نقطه بالاي متغير در معادله، بيانگر مشتق نسبت به زمان مي باشد. ريشه دوم نسبت سختي به جرم، بعنوان فرکانس طبيعي سيستم تعريف مي شود:

(2-3)

بر خلاف تصور، اين جمله که فرکانس طبيعي چنين سيستمي به جرم و سختي آن بستگي دارد، درست نمي باشد. در واقع فرکانس تنها به نسبت ايندو بستگي دارد. بنابراين سيستم هايي با فرکانس طبيعي يکسان اما جرم و سختي هاي متفاوت وجود دارند. معادله (3-1) را از روش انرژي نيز مي توان بدست آورد. از آنجا که اين سيستم اتلاف انرژي و همچنين ورودي انرژي ندارد، مقدار کل انرژي آن در هر لحظه ثابت است. با محاسبه انرژي پتانسيل و انرژي جنبشي در لحظه اي که جابجايي سيستم است، معادله زير بدست خواهد آمد:

(3-3)

با مشتق گيري از رابطه فوق نسبت به زمان، رابطه (3-1) بدست مي آيد. همين نتيجه با استفاده از معادله لاگرانژ (که در همين بخش با آن آشنا خواهيم شد) نيز بدست مي آيد.
پاسخ ارتعاش آزاد سيستم يک درجه آزادي در اثر جابجايي اوليه و سرعت اوليه بصورت زير بيان مي شود:

(3-4)

اين پاسخ نشان دهنده آن است که سيستم يک درجه آزادي در ارتعاش آزاد همواره با فرکانس طبيعي خود حرکت مي کند. اين نتيجه براي يک سيستم خطي چند درجه آزادي نيز برقرار است، با اين تفاوت که اين سيستم در ارتعاش آزاد تمايل به حرکت در ترکيبي از تمام فرکانس هاي طبيعي خود دارد.

3-4-ارتعاش هماهنگ يک سيستم يک درجه آزادي
ارتعاش هماهنگ يک سيستم يک درجه آزادي اساسي ترين نوع ارتعاش و شالوده اصلي در بررسي انواع پيچيده تر ارتعاشات مي باشد. از سري هاي فوريه مي دانيم که هر ارتعاش دوره اي، از تعداد محدودي ارتعاش هماهنگ ساده با فرکانس هايي که مضاربي از يک فرکانس پايه مي باشند، تشکيل شده است. به کمک تبديل فوريه در مي يابيم که يک ارتعاش غيردوره اي، که مي توان آن را ارتعاشي با دوره بينهايت در نظر گرفت، از تعداد نامحدودي ارتعاش هماهنگ که تمام فرکانس هاي محدوده مورد نظر را پوشش مي دهند، تشکيل شده است.
قبل از بررسي ارتعاش هماهنگ يک سيستم يک درجه آزادي ، بهتر است مشخصات يک سيگنال هماهنگ ساده را مرور نماييم. يک سيگنال زماني هماهنگ با دوره و فرکانس دوراني را مي توان بصورت تصوير يک بردار به طول که مطابق شکل (4-3) در جهت پادساعتگرد دوران مي کند، روي محور زمان در نظر گرفت.

شکل (3-4): يک سيگنال هماهنگ ايجاد شده توسط يک بردار دوار

سيگنال زماني را مي توان توسط رابطه زير بيان کرد:

(3-5)

اگر سيگنال مربوط به جابجايي ارتعاشي باشد، سرعت و شتاب را مي توان به کمک مشتق هاي مرتبه اول و دوم آن نسبت به زمان تعيين کرد. به دليل سادگي تابع سينوسي، مقادير دامنه و فاز نسبي سرعت و شتاب را مي توان به کمک دامنه و فاز جابجايي بدست آورد. مقادير دامنه و فازهاي نسبي بين جابجايي، سرعت و شتاب بصورت زير نوشته مي شوند:

(3-6-الف)

(3-6-ب)

(3-7-الف)

(3-7-ب)

با استفاده از متغيرهاي مختلط مي توان معادلات (3-6) و (3-7) را ترکيب کرد. در نتيجه جابجايي، سرعت و شتاب مطابق روابط زير نسبت به هم بيان مي شوند:

(3-8-الف)

(3-8-ب)

در روابط فوق j عدد واحد موهومي است.
ارتعاش يک سيستم يک درجه آزادي در وضعيت خالص هماهنگ، در دو حالت مي تواند رخ دهد. اولين حالت مربوط به ارتعاش آزاد ناميرا (بدون اتلاف انرژي) سيستم يک درجه آزادي است. اين مساله قبلاً بررسي شده است. حالت دوم مربوط به ارتعاش سيستم در حالتي است که تحت اثر يک نيروي خارجي هماهنگ قرار گرفته است. حال فرض کنيد سيستم شامل يک ميراگر ويسکوز با مقدار ميرايي c نيز باشد. c برابر با مقدار نيروي ميرايي براي سرعت واحد مي باشد. سيستم تحت تاثير نيروي هماهنگ خارجي که با معادله بيان مي شود، مطابق شکل (3-5) قرار گرفته است.

شکل (3-5): يک سيستم يک درجه آزادي تحت اثر يک نيروي هماهنگ

معادله حرکت سيستم بصورت زير حاصل مي شود:

(3-9)

از نظر رياضي مي دانيم که حل اين معادله براي جابجايي ارتعاشي سيستم، تابعي هماهنگ به شکل زير است:

(3-10)

اين حل را مي توان به کمک خواص ارتعاش هماهنگ ساده، که قبلاً در همين بخش بيان شد، و قواعد جمع برداري بدست آورد. از آنجا که معادله (3-9) يک جمع برداري مي باشد، يک نمودار برداري مطابق شکل (3-6) مي توان ارائه نمود.

شکل (3-6): نمودار برداري ارتعاش هماهنگ يک سيستم يک درجه آزادي

دامنه جابجايي و زاويه فاز نسبي بين نيروي ورودي و جابجايي خروجي را مي توان از اين نمودار بدست آورد. پاسخ جابجايي سيستم يک درجه آزادي به نيروي ورودي هارمونيک بصورت زير خواهد بود:

(3-11)

مدل ديگر ميرايي در آناليز ارتعاشات، مدل ميرايي سازه اي مي باشد. اين مدل با توجه به خاصيت پسماند در نمودارهاي تنش-کرنش مواد فلزي ارائه شده است. در اين مدل نيروي ميرايي متناسب با دامنه پاسخ و اختلاف فاز با آن مي باشد. معادله (3-9) با ميرايي سازه اي بصورت زير خواهد شد:

(3-12)

در اين حالت نيز پاسخ، هماهنگ است. مقدار را مي توان بعنوان سختي مختلط سيستم تعريف کرده و آن را با نمايش داد. در اين صورت معادله (3-12) به شکل ساده زير در خواهد آمد:

(3-13)

3-5-ارتعاش يک سيستم يک درجه آزادي تحت تاثير يک نيروي اختياري
سيستم يک درجه آزادي ممکن است تحت تاثير يک نيروي تحريک غيرهارمونيک نيز قرار گيرد. روش هاي رياضي متعددي براي بدست آوردن حل اين مساله وجود دارد. تبديل لاپلاس روشي مناسب براي بدست آوردن اين حل است. به ازاي نيروي اختياري ، معادله حرکت بصورت زير مي باشد:

(3-14)

با اعمال تبديل لاپلاس و در نظر گرفتن شرايط اوليه، حل زير حاصل خواهد شد:

(3-15)

در اينجا و تبديلات لاپلاس توابع زماني و مي باشند. براي شرايط اوليه صفر، معادله بصورت زير ساده خواهد شد:

(3-16)

رابطه فوق معادله اي آشنا براي يک سيستم ديناميکي خطي مي باشد که در آن تابع تبديل سيستم ناميده مي شود. سيگنال زماني ارتعاش از تبديل معکوس لاپلاس بدست مي آيد.

3-6-ارتعاشات آزاد و هماهنگ اجباري براي يک سيستم چند درجه آزادي
همواره مقايسه سيستم چند درجه آزادي با سيستم يک درجه آزادي مفيد مي باشد. بررسي ارتعاش آزاد يک سيستم چند درجه آزادي مانند سيستم يک درجه آزادي ، با معادلات حرکت آن شروع مي شود. براي سادگي و در عين حال بدون از دست رفتن عموميت مساله، سيستم ساده دو درجه آزادي شکل (3-7) را براي بررسي ارتعاش آزاد سيستم هاي چند درجه آزادي بکار خواهيم برد.

شکل (3-7): يک سيستم دو درجه آزادي

با انتخاب مختصات و براي توصيف جابجايي ارتعاشي سيستم، معادلات حرکت سيستم بصورت زير حاصل مي شوند:

(3-17)

با ترکيب روابط فوق، شکل ماتريسي معادلات بصورت زير خواهد بود:

(3-18)

اين معادله ماتريسي حالتي خاص از