مقاله شبه ذرات مایورانا در ابررساناهای توپولوژیک

مقاله شبه ذرات مایورانا در ابررساناهای توپولوژیک با فرمت ورد در 15 صفحه تهیه شده است.

مریم سودانی*، حمزه معیری**
*دانشگاه صنعتی جندی شاپور دزفول، گروه فیزیک، دانشجوی کارشناسی ارشد
**دانشگاه صنعتی جندی شاپور دزفول، عضو هیات علمی گروه فیزیک

چکیده
مایورانا حالت خاصی از معادله دیراک را معرفی کرد که بیانگر ذراتی بود که خودشان پاد ذره خودشان نیز بودند، اما تا به امروز کشف چنین ذراتی به عنوان امری دست نیافتنی مبدل گشته است. اما در ابررساناها، ساختار ریاضی­ای برای نوعی از شبه ذرات کشف شده که از معادله مایورانا تبعیت می­کند. اما تفاوت اصلی این شبه ذرات در این است که برخلاف فرمیون­ها و بوزون­ها، آنها از مکانیک آماری غیر آبلی پیروی می­کنند. حضور فرمیون­های مایورانا به عنوان حالت­های جایگزیده بر مرزهای ابررساناهای توپولوژیک، آنها را بسیار مورد توجه قرار داده است. ازجمله کاربردهای این شبه ذرات می­توان به نقش آنها در محاسبات کوانتومی توپولوژیک اشاره کرد.

کلمات کلیدی: معادله دیراک – شبه ذرات مایورانا- ابررساناهای توپولوژیک – مکانیک آماری غیر آبلی

1- مقدمه
پل دیراک1 در سال ١٩٢٨ معادله­ی نسبیتی خود را پیشنهاد نمود. این معادله توصیف نسبیتی ذرات با اسپین بود (1). در سال 1937 فیزیکدان جوان ایتالیایی به نام اتوره مایورانا2، یک ارائه جایگزین از معادله دیراک بر حسب توابع موج را ارائه نمود. این تابع موج حقیقی، ذره‌ای را توصیف می‌کند که برخلاف الکترون‌ها و پوزیترون‌ها، پادذره خودش است (2). اینکه این ذرات حفره­ی خود را دارند یا به اصطلاح دیگر، پادذره خودشان می­باشند به این معناست که این فرمیون­ها یک موقعیت برابر الکترون و حفره دارند (3). مایورانا در مقاله خود فرض کرد که نوترینوها می­توانند یکی از این فرمیون­های نسبیتی عجیب و غریب باشند، اما تا به امروز، تشخیص آنها (از طریق یک فرآیند ضعیف هسته­ای نادر که به عنوان واپاشی مضاعف بتا شناخته می­شود) یک چالش تجربی باقی مانده است (4).
اصطلاح فرمیون مایورانا3 (MF) در فیزیک ماده چگال4 به یک ذره بنیادی اشاره نمی­کند، بلکه به شبه ذرات در حال ظهور اشاره دارد. در واقع، معادله بوگولیوبوف (BdG)5که برانگیختگی‌های شبه ذره‌ای را در ابررسانا­ها توصیف می‌کند، یک ساختار ریاضی مشابه به معادله مایورانا دارد. دلیل این شباهت، تقارن ذره-حفره زیرین در ابررساناها است؛ برخلاف شبه ذرات در یک فلز، با بار مشخص، شبه ذرات در یک ابررسانا شامل برهم نهی منسجم الکترون­ها و حفره­ها هستند. (با برانگیختگی الکترون و حفره، به ترتیب نقش ذره و پادذره را ایفا می­کنند). در حوزه­ی فیزیک ذرات بنیادی، تاکنون همه تلاش‌ها بـرای یـافتن چنین ذره­ای ناکـام بوده است. با این وجود فیزیـک ماده چگـال، بـا معـرفی سیـستم‌­هـای ابـررسـانـایی خاص، وجـود چنیـن ذراتـی را امـکان پـذیـر ساختـه است (5).
رقابت برای تشخیص مایوراناها در ماده چگال بیشتر بر روی ابررساناهای بدون چرخش6 با چرخش دورانی شکسته7 و تقارن معکوس زمانی8، متمرکز شده. این دسته از ابررساناها جذابند چرا که فازهای غیر ضروری را با حالت­های لبه توپولوژیکی خاصیت مایورانا درک می­کند. این حالت‌ها می‌توانند حالت‌های لبه مایورانا باشند که در امتداد مرز یک ابررسانا px+ipy دو بعدی یا حالت‌های صفر مایورانا9 (MZM) منتشر می‌شوند که به عیوب توپولوژیکی متصل می‌شوند. (هسته‌های گردابی در دو بعد یا انتهای ابررساناهای یک‌بعدی توپولوژیکی موج p). باید توجه داشت که MZM ها فرمیون نیستند، بلکه از آمار ناآبلی10 پیروی می­کنند (یک ویژگی فیزیکی که در فیزیک انرژی بالا مشابهی ندارد). اگرچه این ایده‌ها به بیش از دو دهه قبل برمی‌گردند، اما در خارج از جوامع مربوطه­شان نسبتاً ناشناخته باقی ماندند، زیرا مواد ذاتی با جفت‌سازی دو بعدی px+ipy تقریباً در طبیعت وجود ندارند (4).
ابررساناهای توپولوژیک در سال­های اخیر توجه چشمگیری را در حوزه فیزیک ماده چگال به خود متوجه نموده است. حضور فرمیون­های مایورانا بعنوان حالت­های جایگزیده بر مرز­های ابر رساناهای توپولوژیک، آنها را بسیار مورد توجه قرار داده است. از آنجا که ذره مایورانا فرمیونی است که پادذره خودش می­باشد در محاسبات کوانتومی توپولوژیک، کاربرد فراوانی دارد. اختلال­های موضعی نمی­توانند حالت­های مایورانا را از بین ببرند لذا آنها بصورت توپولوژیکی تحت محافظت هستند و تنها با انتقال فاز توپولوژیکی از بین می­روند. جهت ایجاد فرمیون مایورانا در شرایط بر هم کنش اسپین-مدار و با استفاده از سازوکار مجاورت، گاف ابررسانایی و گاف زیگمان در سیستم القا می­شود. در محدوده­ای که این دو گاف با هم مساوی باشند، یک انتقال فار توپولوژیک اتفاق می­افتد و فرمیون­های مایورانا ایجاد می­گردند. محدودیت­های موجود برای سیستم­های شناخته شده منجر به حالت­های صفر بعدی و تک بعدی برای فرمیون مایورانا شده، در حالیکه برای کاربردهای محاسبات کوانتومی، نیاز به یک آرایه دو بعدی از مایوراناها داریم (6).
آنچه در بخش­های پیش رو خواهیم دید بدین گونه است. پس از مروری کوتاه به معادله دیراک در بخش دوم به سراغ معرفی معادله مایورانا در بخش سوم می­رویم. در بخش چهارم فرمیون­های مایورانا را معرفی کرده و سپس در بخش پنجم بافت های غیر آبلی حالت­های صفر مایورانا را بررسی خواهیم کرد. در پایان جمع بندی­ای از کل مقاله ارایه خواهد شد.

2- معادله دیراک
هدف دیراک، هنگام “تلاش برای گرفتن ریشه دوم از یک ماتریس”، نوشتن معادله­ای بود که بر خلاف معادله کلاین-گوردون، در خطی بود. معادله دیراک، تابع موجی ذرات با اسپین نیمه صحیح، یعنی فرمیون­ها را (مانند الکترون­ها) توجیه می­نماید در حالی که معادله کلاین-گوردن برای ذرات با اسپین صفر(مانند بعضی مزون­ها) در نظر گرفته می­شود. برای اینکه معادله هموردا باشد، باید در نیز خطی باشد، که دیراک را به ارائه شکل کلی زیر هدایت نمود:
(1)

چهار ضریب (α≡( αx, αy , αz ) , با این شرط تعیین می­شوند که یک ذره آزاد باید رابطه نسبیتی انرژی-تکانه را برآورده کند، یعنی:
(2)

که این معادله مشهور دیراک را نشان می­دهد (7):
(3)

با تعریف ماتریسی که به اصطلاح گاما نامیده شد:
(4)

با احتساب , با نماد استاندارد می­توان نوشت:
(5)

ماتریس­های گاما از جبر کلیفورد11 که در آن همان تانسور مینکوفسکی12 می­باشد، پیروی می­کنند. این نماد به صراحت معادله دیراک را به شکل کوواریانس لورنتس13 بیان می­کند.

3- معادله مایورانا
ماتریس γµ شامل اعداد واقعی و موهومی است، بنابراین Ψ باید یک میدان مختلط باشد و این موضوع مورد انتظار است چرا که الکترون­ها دارای بار الکتریکی هستند و توصیف ذرات باردار به میدان­های مختلط نیاز دارد. مایورانا در مقاله خود در سال 1937 این سوال را مطرح کرد که آیا معادله دیراک باید لزوماً شامل میدان‌های مختلط باشد یا خیر. جالب اینجاست که او مجموعه‌ای از ماتریس‌های گامای کاملاً موهومی زیر را کشف کرد:

که به معادله زیر ختم می­شود:
(6)

از آنجایی که ماتریس‌های کاملا حقیقی هستند، میدان­های مربوطه نیز حقیقی بوده که منجر به شرایط به اصطلاح حقیقی زیر می‌شود
(7)

از آنجایی که یک ذره باردار الکتریکی با پاد ذره­اش متفاوت است، راه حل­های معادله مایورانا لزوماً باید ذراتی خنثی و برابر با پادذره خودشان را توصیف کنند (4).
به طور رسمی، این جمله که یک ذره برابر با پادذره خودش است، باید با اعمال تقارن صرف بار به دست آید. برای مشخص کردن درجه آزادی بار، اجازه دهید معادله دیراک را از طریق جایگزینی حداقلی () به میدان الکترومغناطیسی Aμ متصل کنیم.
(8)

راه حل همیوغی بار14 Ψc باید همان معادله را برآورده کند اما با بار مثبت، یعنی:
(9)

هدف ما اکنون ایجاد یک تناظر یک به یک بین Ψc و Ψ است. در این راستا ابتدا مزدوج مختلط (رابطه 8) را در نظر می­گیریم:
(10)

اکنون ماتریس C را بصورتی تعریف می­کنیم که عبارت را برآورده کند، لذا (رابطه 10) را می توان به شکل زیر نوشت، یعنی:
(11)

که این رابطه، همیوغ بار را به صورت تعریف می­کند. عملگر همیوغ بار C منحصر به فرد نیست. یک انتخاب ممکن، مربوط به ماتریس­های گاما بصورت زیر است:

در این ادبیات، این جمله که یک ذره برابر با پادذره خودش است، به صورت تابع موجی برابر با حل همیوغ بار آن بیان می­شود، یعنی:
(12)

رابطه که در برخی مقالات به آن شرط شبه حقیقی گفته می­شود شرط حقیقی را در (رابطه 7) تعمیم می دهد (8). اگر بخواهیم به طور خلاصه به معنای آن بپردازیم خوب است نیم نگاهی به معادله دیراک در نمایش ویل15 داشته باشیم:
(13)

که در آن اسپینور چهار جزئی دیراک را به دو فیلد دو جزئی و تقسیم کرده­ایم. اگر حل­های ثابت را تجزیه و تحلیل کنیم، عملیات همیوغی بار معنای بسیار واضحی دارد: برای هر حل ΦE یک حل همیوغی بار در انرژی منفی وجود دارد، یعنی:
(14)

اکنون یک نظریه میدان کوانتومی می­تواند با ساختن برهم نهی از حالت­های ویژه انرژی ΦE با ایجاد عملگرهای فنا16 مناسب ایجاد شود:
(15)

که در آن () یک عملگر فنا (خلق) استاندارد در کوانتیزاسیون دوم برای یک ذره (پادذره) در انرژی E است. معادله فوق را می­توان به صورت بازنویسی کرد:
(16)

فیلد یک عملگر میدان دیراک است که قوانین استاندارد پادجابجایی را برآورده می­کند. با جایگذاری در رابطه 16، عملگر میدان فرمیون مایورانا خواهد شد:
(17)

به دلیل قید شبه حقیقی ، پادجابجایی­ها، شکل مایورانا به خود گرفته و بصورت زیر خواهند بود:
(18)

کاراکتر مایورانای فیلد فوق به ویژه در نمایش مایورانا که در آن است و به معادل صریح17 زیر منجر می­شود، واضح می­گردد:
(19)

باید توجه داشت که یا شرط شبه حقیقی در یا شرط حقیقی در توسط کل میدان کوانتومی (وابسته به زمان) برآورده می­شود و برعکس، از آنجا که Φ-E و ΦE متعامد هستند، نمی‌توان آن را در سطح حل­های ثابت با انرژی کاملاً مشخص برآورده کرد. جالب توجه است، تنها استثنا موجود، مورد خاص 0 =E است که در آن شرط مایورانا می­تواند در سطح ثابت نیز برآورده شود. لذا تا کنون، بیشترین توجه در ماده چگال حول این مورد مهم E=0 متمرکز شده است که منجر به مفهوم حالت‌های صفر مایورانا (MZM)در ابررساناها می­شود (4).

4- فرمیون مایورانا
فرمیون­های مایورانا در فیزیک ماده چگال متفاوت­تر از چیزی که در فیزیک ذرات بنیادی بیان شده تعریف می­شود و قادر است به صورت یک شبه ذره وجود داشته باشد. عملگر مایورانا هرمیتی است و به فرم نشان داده می شود. فرض نمائید فرمیون های مایورانا از رابطه های عملگری زیر پیروی نمایند:
(20)

هر عملگر خلق و فنا را می­توان بصورت جمع دو فرمیون مایورانا و بصورت زیر بیان کرد:
(21)
(),
(22)
()
از طرفی فرمیون­های مایورانا بر حسب عملگرهای فرمیونی به شکل زیر بیان می­گردند:
(23)
(),
(24)
().
در واقع پاریته عدد فرمیونی را بصورت زوج و فرد مشخص می­نماید. این عدد پاریته به صورت زیر تعریف می­شود:
(25)

که مقدار 1- برای حالت پر و مقدار حالت خالی 1+ است (7).
یکی از پیشنهادات موجود برای یافتن فرمیـون­های مایورانا، بکارگیری ابررساناهای توپولوژیک است. در مرز ابررساناهای توپولوژیکی موج 𝑝 ، فرمیون­های مایورانا زندگی نموده و نیز دارای انرژی صفر هستند (8). در حقیقت توپولوژی است که از این مایوراناها محافظت می­نماید. این توپولوژی بوسیله تقارن­های موجود در سیستم به وجود آمده. زمانیکه به این سیستم یک بی نظمی را به گونه­ای که تغییری در تقارن­های سیستم ایجاد نشود بیافزائیم، مادامی که گاف سیستم بسته نشود، این مایوراناها در برابر بی­نظمی از خود مقاومت نشان می­دهند. بی­نظمی تحت این شرایط نمی­تواند توپولوژی را در سیستم تغییر دهد. در ابررسانای تک بُعدی موج 𝑝 ، اگر همسایگی­های دورتر را در نظر بگیریم، تعداد جفت فرمیون­های مایورانا که در مرز وجود دارند، بیشتر می­شود. اولین مدلی که پیش­بینی نظری